2 тараудың есептерін шешуге арналған әдістемелік нұсқаулық

2.1. (2.3) формулаға сәйкес якобианды келесі түрде анықтаймыз:

.

Қозғалыс теңдеуін түрлендіру арқылы , ,  түріндегі қозғалыстың материалдық жазылуын аламыз. Екі жағдайда да   болғанда  болады.

2.2. Екінші және үшінші теңдеуден  және  екенін аламыз. Бұл теңдеулерді шешу арқылы , ,  түріндегі қозғалыстың Эйлерлік жазылуын аламыз. Онда орын ауыстыру компоненттері -ді Лагранждық емес формада   , Эйлерлік емес формада    жазуға болады.

(2.14) () формула бойынша Лагранждық сипаттаулардағы жылдамдық компоненттері    түрінде болады.  және  қатынастарын ескерсек, онда бұл компоненталар , ,  түріне келтіріледі. Егер қозғалыс Эйлерлік айнымалыда берілсе, онда (2.15) формула бойынша келесі түрде анықтаймыз:

,

.

Бұл теңдіктерді  және  қатысты шешсек, онда жоғарыдағыдай ,  екені шығады.

2.3. (2.18) формула бойынша

,

,

,

екенін аламыз.

2.4. (2.13)  формула бойынша айнымалыларды бөліктесек  және интегралдасақ , мұндағы С – интегралдау тұрақтысы.  болғанда  болғандықтан,  болады. Онда . Дәл осылай  және  екенін анықтаймыз.

Одан кейін (2.14) және (2.17) бойынша, , ,  және , ,  екенін анықтаймыз.

2.5. Қозғалыс теңдеуін , ,  түрінде жазайық. Бұл теңдеулерді квадраттасақ және бір-біріне қоссақ, онда -дан құтыламыз және траекторияның  түріндегі шеңбер болатының көреміз. (5.6) формула бойынша жылдамдықты табамыз: , , . Сонымен, . Ақырында  болғанда . Бұдан  ,  екені шығады.

2.6. Тікелей қою арқылы  болатының анықтаймыз. (2.18) формуланың векторлық формасын пайдаланып үдеу өрісін келесі түрде анықтаймыз:

немесе

.

Сонымен, .

2.7. Тоқ сызығының әрбір нүктесіндегі жанама жылдамдық векторына бағытталған. Сондықтан, шексіз аз  dx векторы үшін тоқ сызығының жанамасын  түрінде жазамыз және  түріндегі тоқ сызығының дифференциальдық теңдеуін аламыз. Берілген ағын үшін бұл теңдеу .  болғандағы  бастапқы шартын ескеріп, бұл теңдеуді интегралдасақ, онда тоқ сызығының теңдеуін аламыз: , , .  жылдамдық өрнегінің интегралдануы 2.4-есепте орындалған және , ,  түріндегі қозғалыс теңдеуін алған болатынбыз. Бұл теңдеудегі t айнымалысынан құтылу арқылы, жоғарыда табылған тоқ сызығының теңдеуімен сәйкес келетін траектория теңдеуін аламыз.

2.8.  болғандықтан, (2.11) формула арқылы келесі өрнекті аламыз:

.

Сонымен,  уақытындағы Р нүктесіндегі мәні

.

2.9. (2.18) формула бойынша , , . Онда  нүктесінде  және үдеудің оське ұмтылатын компоненті ғана болады, ал айналу осінде орналасқан  нүктесінде . 

екенін ескерсек, онда .

2.10. (2.29) q-дің өрнегін қосынды түрінде жазайық: .  болғандықтан, . Осыдан

.

2.11. (2.18) формулаға сәйкес . Осыдан

Бұл дәлелденетін теңдіктің векторлық формасы екенін оқушының өзі тексеруге болады.

2.12.  туындысын  түрінде жазайық. Онда  және  үш анықтауыштың қосындысы түрінде өрнектеледі:

.

Әрі қарай,  және т.с.с ауыстырсақ, онда

.

S бойынша қосындылаукезінде пайда болатын үшінші ретті тоғыз анықтауыштың үшеу ғана нөлден ерекше. Сонымен,  немесе . Сондықтан .

2.13. 2.7-есепте көрсетілгендей t уақытындағы  дифференциальдық теңдеуінің шешімі тоқ сызығы, ал  дифференциальдық теңдеуінің шешімі траектория болады. Егер  болса, онда траектория теңдеуі  түрінде болады және тоқ сызығының теңдеуі менсәйкес келеді.

2.14. (2.19)-формула бойынша  немесе

Келесі теңдеудің шешімі  бас мәндері болып табылады:

Осыдан . Бұл мәндерді олардың кему реті бойынша реттеуге болады: .

2.15. (2.33)-формулан пайдалансақ, онда

және

.

Сонымен,

,

және 2.11-есептің нәтижесін пайдалансақ, онда

2.16. 2.10-есепте алынған үдеу өрнегіне rot операциясын қолдансақ, онда

және  мен  екенін ескерсек, онда . Егер 5.6-есептің формуласындағы р-ның орнына -ді қойсақ, онда ізделінді нәтижені аламыз

.

2.17. 2.15-есептегі  теңдікті индекстік формада жазуға болады , онда

.

(1.157) Гаусс-Остраградский теоремасын пайдалансақ, онда

2.18. (2.19) формула бойынша,

.

Бұл тензорды  уақытындағы Р нүктесінде есептеуге болады, ал оның құрамды бөліктерін сәйкесінше (2.20) және (2.21) формулалары бойынша есептейміз:

.

2.19. Бұл жағдайда орын ауыстыру компоненттері , , . Онда (2.14) формула бойынша жылдамдық компоненттері , ,  түрінде болады. Жылдамдық градиентін жіктесек , яғни

Осыған ұқсас орын ауыстыру градиентін  жіктесек, яғни

.

D -ны -мен салыстырсақ, онда

.

 болатының дәлелдеуді талакердің өзіне қалдырамыз.

2.20. Айталық dx – q бағытындағы шексіз аз вектор болсын (сурет 4.1). Онда  немесе

2.1 – сурет.

,

Осыдан  түріндегі құйын теңдеуін аламыз.

2.21. (2.29) формула бойынша , ал 6.3-есептің шешімі бойынша құйын сызығының дифференциальдық теңдеуі , ,  түрінде болады. Бұларды интегралдау арқылы құйын сызығының ақырғы формасын аламыз: , , , мұндағы  - интегралдау тұрақтысы.

2.22.  жылдамдық градиентін есептейік. Ол антисимметриялық тензор болып табылады. Яғни

   және   .

2.23. (2.30) формула бойынша  немесе . Бұл вектор айналу осінің бойымен бағытталған .

2.24. Тікелей есептеу арқылы    Жылдамдық градиентінің матрицасы келесі түрде болады:

және х₂ осінің оң бағытындағы,  нүктесіндегі жылдамдық градиенті келесі түрде болады:

.

Сонымен,  және бұл шама  салыстырмалы жылдамдығына ұмтылады.

2.25. Біздің жағдайымызда жылдамдық градиенті

түрінде  және Р нүктесіндегі оның симметриялық бөлігі келесі түрде болады:

.

(2.34) формула бойынша  бағыты үшін

.

2.26.  жылдамдық жылжуы  формуласы арқылы табылады. Оны матрицалық түрде есептесек:

.

2.27. Бұл жағдайда

және  тензорының  бас мәні

,

осыдан . Бас осьте тензорды түрлендіру матрицасы

және деформация жылдамдық тензорын келесі түрге келтіреді

.

2.28. Жылжудың бас деформациясына ұқсас жылжудың максимальды жылдамдығы -ге тең болады.

Егер бұл қозғалысты  векторының бағытындағы  жазықтығына паралелль қарапайым жылжу деп есептесек тура жоғарыдағы нәтижені аламыз (6.2-сурет). Сондықтан бұрынғыдай,

.

2.2 – сурет.

Сонымен қоса, бұл қозғалыс үшін жылжудың максимальды жылдамдығы, 2.27-есепте табылғандай  бағытында да бар болады. Онда

.

2.29. (2.45) формуласы бойынша  , бірақ (2.48) теңдіктен  екені шығады. Сондықтан

.

Қосындылау индекстерінің атын өзгерткенен кейін келесі теңдікті аламыз:

.

2.30. (2.57) формула бойынша

2.31. 2.30 –есептің нәтижесін символдық белгілеулер арқылы жазсақ, онда

Енді векторлық теңдікті пайдалансақ

;

онда

.

2.32. Айталық,  - Эйлерлік координата мен уақыттың кез-келген тензорлық функциясы болсын. Онда (2.53) формула келесі түрде жазылады:

.

Гаусс-Остраградский теоремасы бойынша бұл өрнекті (2.54) түрге келтіреміз:

.

2.33. (2.53) формуланың 2.32-есепте келтірілген векторлық формасын пайдаланып,  екенін аламыз. Мұндағы  -  өзгеруінің жылдамдығы. сондықтан  - кубтық ұлғаюдың жылдамдығы деп аталады. Бұл қатынасты (2.38) өрнегін дифференциалдау арқылы да алуға болады.